Ing. Armando Malebranch Eraso D.
Magister en Planeación socioeconómica
Capacitación, asesoría y consultoría en:
Gestión de proyectos y desarrollo comunitario.
Calle 68 # 97-44, telefax 4305855, Bogotá, DC, Colombia.

Por: Armando Malebranch Eraso D.

Formulas de equivalencias financieras más utilizadas en evaluación de proyectos

1) Fórmula para calcular el valor futuro de un valor presente

F = P(1+ i)ⁿ , del que despejando P, obtenemos la fórmula de

2) Fórmula para calcular el valor presente de un valor futuro

P = F/(1+ i)ⁿ , e igualmente se puede despejar n, en caso de querer averiguar el tiempo que se tardaría una cantidad hoy para convertirse en una futura a una determinada tasa de interés y resultaría: utilizando logaritmos naturales así:

F = P (1+i) ⁿ

F/P = (1+i) ⁿ

LN (F/P) = n {LN (1+ i)} y llegaríamos a obtener la

3) Formula de “n” o sea del tiempo

n = LN (F/P)/ {LN (1+i)},

4) Cálculo de la tasa de interés

además se puede averiguar a qué tasa de interés una cantidad se convierte en otra en un determinado periodo de tiempo y lógicamente que para ello despejamos “i” y eso se puede hacer de muchas maneras, pero quizá la más fácil es, mediante interpolación; por ejemplo si un banco le presta a una persona 2 millones de pesos y la deuda se debe cancelar en dos cuotas iguales de 1.490.511, la una a los 6 meses y  la segunda a los 12, averiguar cuál es la tasa de interés para que esto sea así.

La solución sería:

2.000.000 = (1.490.511/(1+i)⁶ )+(1.490.511/(1+i)¹²); ahora factorizando 1.490.511 y pasándolo al otro lado de la ecuación, tenemos:

1,34182 = (1/(1+i)⁶)+(1/(1+i)¹²) y ahora si se realiza  la interpolación:

Primero: calculando al tanteo valores para “i”, para obtener resultados  uno mayor y otro menor que 1,34182, veamos

Por ejemplo si “i” vale 2% y la sustituimos en la ecuación, obtenemos: 1,6764, ahora si “i” vale 3%, obtenemos 1,54 y vemos que ambos valores están por arriba de 1,34182, entonces seguimos tanteando y probamos con 4% y encontramos 1,41 que sigue siendo un valor mayor, entonces probamos con 6% y encontramos 1,20, lo que quiere decir que la interpolación está entre el 4% y  6%. En cuyo caso el planteamiento de la interpolación es:

(X-4)/(6-4) = (1,34-1,41)/(1,2-1,41)

(X-4)/2 = - 0,07/- 0,21, ahora despejando (X-4)

(X-4) = 0,33*2

X = 4,66

Lo que quiere decir que la tasa de interés es 4,66%, aproximadamente.

Calculo del pago uniforme de una serie

Esto se refiere a pagar cuotas iguales en periodos fijos a través del tiempo, por ejemplo si nos prestan una plata, por decir algo 100 mil pesos y nos dicen que debemos pagarla en 5 cuotas mensuales iguales, quiere decir que se puede calcular el valor de cada cuota, bien sea que nos cobren los interese vencidos, que sería lo lógico, o que nos los cobren anticipados. Si suponemos que no nos cobran intereses el cálculo es sencillo 100.000 en 5 cuotas son 20.000 y ese sería el valor de cada cuota, pero como la verdad es que nadie presta sin interés, entonces hay que tener en cuenta que cada vez que abonamos cada cuota el saldo de la deuda disminuye y por lo tanto los intereses también, pero nos han dicho que debemos calcular cuotas iguales donde se incluya en la cuota tanto los intereses como el pago.

Supongamos que vamos a realizar una inversión con pago de cuotas “A” iguales, en el año 0 la inversión es “A”, en año 1 la inversión es A(1+i), en el año 2 es A(1+i)², y así sucesivamente,  apreciemos esto gráficamente:

 F = A + A(1+i)¹ + A(1+i)² + ……… A(1+i)^n-1, multipliquemos ambos miembros por (1+i)

F(1+i) = A(1+i)¹ + A(1+i)² + ………. A(1+i)ⁿ, ahora tenemos 2 ecuaciones simultaneas y restamos la segunda de la primera:

F – F(1+i) = A- A(1+i)ⁿ , factorizamos:

F(1- (1+i)) = A(1- (1+i)ⁿ), anulamos lo que se debe anular y obtenemos:

Fi = - A(1+i)ⁿ +1, ahora despejamos F y obtenemos la

5) Formula para calcular el valor futuro de una serie uniforme

F = A {(1+ i)ⁿ –1}/ i, si de esta fórmula despejamos A, obtenemos la

6) Formula para calcular el valor de la cuota de una serie uniforme, si se conoce el valor futuro:

A = F i/ {(1+ i)ⁿ –1}, ahora si en esta fórmula reemplazamos la F por su fórmula, tenemos la

7) Formula para calcular el valor de la cuota de una serie uniforme, si se conoce el valor presente:

A = {P (1+ i)ⁿ i}/ {(1+ i)ⁿ –1}; y si de esta fórmula, despejamos P, obtendremos la

8) Formula para calcular el valor presente de una serie uniforme:

P = A [(1+i) ⁿ – 1]/ (1+I) ⁿ i,

Nota: en las fórmulas aparecen I mayúscula e i minúscula, indistintamente, pero no se trata de algo diferente sino a una especie de capricho del computador, bueno, los computadores no pueden tener caprichos, pero yo no se como se llame eso que unas veces le dio la gana de poner mayúsculas y otras en minúscula.

Resumen

(Fórmulas de interés compuesto)

CUADRO 6

Otro punto que vale la pena recordar de la matemáticas financieras  y que lo vamos requerir en le evaluación financiera de proyectos es lo relacionado con el interés nominal y el efectivo (vea la próxima lección)