Ing. Armando Malebranch Eraso D.
Magister en Planeación socioeconómica
Capacitación, asesoría y consultoría en:
Gestión de proyectos y desarrollo comunitario.
Calle 68 # 97-44, telefax 4305855, Bogotá, DC, Colombia.

Por: Armando Malebranch Eraso D.

Cuando a uno le prestan un dinero y le dicen que los interese hay que pagarlos por anticipado, lógicamente que los verdaderos interese suben, por ejemplo si el préstamo es de 100, la tasa de i es 10% y los intereses se deben pagar por anticipado, quiere decir que de los 100 hay que dejar 10 de los interese del primer período, o sea que el dueño del billete lo que está entregando no son 100 sino 90, más sin embargo, los intereses si son 10, los que quiere decir que la tasa de interés subió de 10 a 11,11%, como por encanto, claro si dividimos 10 para 90, y lo multiplicamos por 100 para saber cuál es el verdadero interés, da eso: 11,11%, con esta sencilla operación lo que hemos hecho en términos generales es: (100/90) –1 = 0,1111111; así de sencillo es el cálculo para un solo período, pero lo normal es que haya que realizar el cálculo para varios períodos, entonces lo mejor es obtener la fórmula de i_e y para ello vamos primero a la fórmula de valor futuro:

F = P (1+ i)ⁿ, de aquí se despeja i,

I = (F/P) ^1/n –1,

Pero resulta que en esta fórmula, hay un valor futuro y un valor presente, que para lo que tratamos de hacer no nos sirven, porque lo que tenemos en vez de valor futuro “F”, es un valor nominal del préstamo que para nuestro ejemplo son 100 y en vez de valor presente “P”, tenemos un valor disminuido del préstamo 100, que para el ejemplo son 90, lo mismo sucede con la “i” que al ser anticipada para un período, no es la misma “i” tradicional , sino “r_a” (algo así como renta anticipada);, entonces la “F” la vamos a reemplazar por “K” y “P” , por (K – r_a K), que factorizándola da: K(1 – r_a), ahora esta “r_a” que es el interés anticipado en general es distinta a la “ r_a” de un período dado, por ejemplo del primer período, por lo tanto vamos a diferenciarla colocándole el símbolo “r_am” (algo así como renta anticipada del período), denominándole “m” al período, ahora sí, reemplazando obtendremos el interés del período:

r_m = [ K/K(1- r_am)] – 1 y resolviendo las operaciones

r_m = [1/(1- r_am)] – 1,

Ahora recordando que en la lección anterior se dijo que la fórmula del interés efectivo, es:

i_e = (1+r)^p – 1

Donde: i_{e =} interés efectivo, r = interés del periodo y p = # de periodos de capitalización, con los símbolos de ahora tendríamos:

i_e = (1+ r_m)^m – 1, ahora pasamos el 1 al otro miembro y obtenemos:

1+ i_e = (1+ r_m) ^m, ahora si hacemos lo mismo con la fórmula de “r_m”, tenemos:

1+ r_m = [1/(1 - r_am)] y sustituyendo el (1+ r_m) en:

1+ i_e = [1/(1 - r_am)]^m , desde donde despejamos:

i_e = [1/(1 - r_am)]^m – 1,

que es la fórmula que buscábamos de interés efectivo cuando la tasa es cobrada por anticipado, entonces aplicando en el caso del préstamo de los 100, es:

i_e = 1/(0,9) – 1 = 0,111111.

Bueno hasta aquí hemos realizado un breve repaso a las matemáticas financieras, específicamente en lo que tiene que ver con las equivalencias financieras y es importante saber muy bien esto, aunque en la práctica actual estas cosas se resuelven en el computador en Excel, y como todos sabemos allí la cosa es bien sencilla. (Ver próxima lección)